Question

已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（4，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y=

k

x

（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且∠AOC=60°，则有下列四个结论：
①双曲线的解析式为y=

3 3

x

（x＞0）；②E点的坐标是（

3

2

，2

3

）；③S_OABC=8

3

；④AC+OB=8

3

．
其中正确的是

 

（填序号）．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：过点C作CF⊥x轴于点F，由A点的坐标为（4，0）可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标，用待定系数法可求出双曲线y=

k

x

（x＞0）的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标；可求出∠COA的正弦值；根据A、C两点的坐标可求出AC的长，根据点B的坐标求得OB的长．

解答：解：过点C作CF⊥x轴于点F，
∵∠AOC=60°，A点的坐标为（4，0），
∴OF=2，CF=2

3

，
∴C（2，2

3

），
∵点D时线段AC的中点，
∴D点坐标为（

4+2

2

，

3

），即（3，

3

），
∵双曲线y=

k

x

（x＞0）经过D点，
∴

3

=

k

3

，即k=3

3

，
∴双曲线的解析式为：y=

3 3

x

（x＞0），故①正确；
∵CF=2

3

，
∴直线CB的解析式为y=2

3

，
∴

y=2 3 y= 3 3 x

，
解得x=

3

2

，y=2

3

，
∴E点坐标为（

3

2

，2

3

），故②正确；
∵CF=2

3

，OA=4，
∴S_菱形OABC=4×2

3

=8

3

，
故③正确；
∵∠AOC=60°，OC=OA
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=OA=4，
OB=

(2 3 )2+62

=4

3

，
∴AC+OB=4+4

3

，故④错误．
故答案为：①②③．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的性质及反比例函数的性质、锐角三角函数的定义等相关知识，难度适中．