题目内容

亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
例：sin75°=sin（30°+45°）=sin30° cos45°+cos30° sin45°= $数学公式$
（1）试仿照例题，求出cos75°的准确值；
（2）我们知道： $数学公式$ ，试求出tan75°的准确值；
（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较．

解：（1）∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
∴cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin 45°，
= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）∵ $\text{[math]}$ ，
∴tan75°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ ；

（3）如下图：tan75°=tan∠CBD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +2．

分析：从题中给出的信息进行答题：
（1）把75°化为30°+45°直接代入三角函数公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ计算即可；
（2）把tan75°代入tanα= $\text{[math]}$ ，再把（1）及例题中的数值代入即可．
（3）根据题意画出图形，利用三角函数的定义解答即可．
点评：本题是信息题，解答此题的关键是：
（1）按照cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ求出了cos75°的值；
（2）按照 $\text{[math]}$ ，求出了tan75°的准确值；
（3）利用三角函数值的定义解答．