Question

3．如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的D'处，折痕为AE．再将△AD'E翻折，点A恰好落在BC的中点A'处，连结AA'，若AD=2，则线段AA'的长为$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 根据折叠的性质，得出AD'=DE，而AD'∥DE，进而得到四边形ADED'是平行四边形，由折叠可得，D'E垂直平分AA'，即可得出△AA'B是直角三角形，再根据∠B=∠D'A'B，得到D'A'=D'B=2，即AB=2+2=4，最后在Rt△AA'B中，运用勾股定理进行计算即可得到AA'的长．

解答 解：由折叠可得，∠DAE=∠D'AE，AD=AD'=2，
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠D'AE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE=2，
∴AD'=DE，而AD'∥DE，
∴四边形ADED'是平行四边形，
∴AD∥D'E，
由折叠可得，D'E垂直平分AA'，
∴AA'⊥AD，
又∵AD∥BC，
∴AA'⊥BC，
∴△AA'B是直角三角形，
∵AD'=A'D'=2，
∴∠D'AA'=∠D'A'A，
又∵∠D'AA'+∠B=90°，∠D'A'A+∠D'A'B=90°，
∴∠B=∠D'A'B，
∴D'A'=D'B=2，
∴AB=2+2=4，
又∵A'是BC的中点，BC=AD=2，
∴A'B=1，
∴AA'=$\sqrt{A{B}^{2}-A'{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$．
故答案为：$\sqrt{15}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．