Question

9．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．
（1）求证：BF=AC；
（2）求证：CE=$\frac{1}{2}$BF；
（3）求证：DG=AD．

Answer 1

分析 （1）欲证明AC=BF，只要证明△ADC≌△FDB即可．
（2）只要证明BA=BC，根据等腰三角形的性质（三线合一），可知AE=EC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF．
（3）由DGF=∠DBG+∠BDG=67.5°，∠DFG=∠FBC+∠BCF=67.5°，推出∠DGF=∠DFG，即可证明．

解答 证明：（1）∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∴DB=DC，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠A+ACD=90°，
∴∠DBF=∠ACD，
在△ADC和△FDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠DBF}\\{DC=BD}\\{∠ADC=∠BDF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△FDB，
∴AC=BF．

（2）∵∠ABE=∠CBE，∠ABE+∠A=90°，∠CBE+∠BCA=90°，
∴∠A=∠BCA，
∴BA=BC，
∵BE⊥AC，
∴AE=CE，
∵AC=BF，
∴CE=$\frac{1}{2}$BF．

（3）∵DB=DC，∠BDC=90°，BH=CH，
∴DH⊥BC，
∴DH=BH=HC，
∴∠HDB=∠HBD=∠BCD=45°，
∵∠FBD=∠FBC=22.5°，
∴∠DGF=∠DBG+∠BDG=67.5°，∠DFG=∠FBC+∠BCF=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG，
∴DG=DF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．