Question

如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；

（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：

  ①为何值时为等腰三角形；

  ②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

Answer 1

【解析】（1）设平移后抛物线的解析式，

将点A（8，,0）代入，得.顶点B（4,3），

=OC×CB＝12.

（2）直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，

①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为，

由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.

当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知,

MQ＝，由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，解得：

＝12（舍去）.

当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立.

故.

②方法一：作PN的中点C，连接CM，则CM＝PC＝PＮ，

当CM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小，

此时＝3，证明如下：

假设＝3时M记为，C记为

若M不在处，即M在左侧或右侧，

若C在左侧或者C在处，则CM一定大于,而PC却小于，这与CM＝PC矛盾，

故C在右侧，则PC大于,相应PN也会增大，

故若M不在处时 PN大于处的PN的值，

故当＝3时，MQ＝3, ,根据勾股定理可求出PM＝与MN＝,．

故当＝3时，PN取最小值为．

方法二：由所在直线方程为，与直线AB的解析式联立，

得点N的横坐标为，即，

由判别式，得或，又，

所以的最小值为6，此时＝3，

当＝3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为．