Question

如图，PA，PB分别切⊙O于A、B，圆周角∠AMB=60°，EF切⊙O于C，交PA，PB于E，F，△PEF的外心在PE上，PA=3，则AE的长为（　　）

• A、3-

  3

• B、4-2

  3

• C、1
• D、2

  3

  -3

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：首先连接OA，OB，由PA，PB分别切⊙O于A、B，EF切⊙O于C，根据切线长定理，可得△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+AE+BF+PF=PA+PB=6，又由圆周角∠AMB=60°，可求得∠A=60°，由△PEF的外心在PE上，可得∠PFE=90°，然后设PF=x，可得方程x+2x+

3

x=6，解此方程即可求得答案．

解答：解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB=3，
∵∠AMB=60°，
∴∠AOB=2∠AMB=120°，
∴∠P=180°-∠AOB=60°，
∵EF切⊙O于C，
∴EA=EC，FC=FB，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+AE+BF+PF=PA+PB=6，
∵△PEF的外心在PE上，
∴PE是△PEF的外接圆的直径，
∴∠PFE=90°，
设PF=x，则PE=2x，EF=

3

x，
∴x+2x+

3

x=6，
解得：x=3-

3

，
∴PE=6-2

3

，
∴AE=PA-PE=3-（6-2

3

）=2

3

-3．
故选D．

点评：此题考查了切线的性质、三角形外接圆的性质、圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．