Question

12．在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-3，0），B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线y=x²+bx+c，记平移后的抛物线为C₁，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，当以点B、B′、C、C′为顶点的菱形面积最大时，求抛物线C₁的解析式．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）若要使点B、B′、C、C′为顶点的四边形为菱形，则抛物线可以沿左右方向或上下方向平移BC的长度，据此分别求出两种情况下菱形的面积，可知平移的方向和距离，继而可得答案．

解答 解：（1）把点A（-3，0），B（2，0）代入y=x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{9-3b+c=0}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²+x-6；

（2）∵OB=2，OC=6，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，

若将抛物线向左或向右平移2$\sqrt{10}$个单位时，菱形的面积为2$\sqrt{10}$×6=12$\sqrt{10}$；
若将抛物线向上或向下平移2$\sqrt{10}$个单位，菱形的面积为2$\sqrt{10}$×2=4$\sqrt{10}$，
∴当以点B、B′、C、C′为顶点的菱形面积最大时，应将抛物线向左或向右平移2$\sqrt{10}$个单位，
向左平移时抛物线C₁的解析式为y=（x+2$\sqrt{10}$）²+x+2$\sqrt{10}$-6=x²+（4$\sqrt{10}$+1）x+34+2$\sqrt{10}$，
向右平移时抛物线C₁的解析式为y=（x-2$\sqrt{10}$）²+x-2$\sqrt{10}$-6=x²-（4$\sqrt{10}$-1）x+34-2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及二次函数的图象与几何变换是解题的关键．