Question

3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=15，点E是AD边上一点，连接BE，把△ABE沿BE折叠，使点A落在点A′处，点F是CD边上一点，连接EF，把△DEF沿EF折叠，使点D落在直线EA′上的点D′处，当点D′落在BC边上时，AE的长为$\frac{15+\sqrt{33}}{3}$或$\frac{15-\sqrt{33}}{3}$．

Answer 1

分析 设AE=A′E=x，则DE=ED′=15-x，只要证明BD′=ED′=15-x，在Rt△BA′D′中，根据BD′²=BA′²+A′D′²，列出方程即可解决问题．

解答 解：∵把△ABE沿BE折叠，使点A落在点A′处，
∴AE=AE′，AB=BE′=8，∠A=∠BE′E=90°，
∵把△DEF沿EF折叠，使点D落在直线EA′上的点D′处，
∴DE=D′E，DF=D′F，∠ED′F=∠D=90°，
设AE=A′E=x，则DE=ED′=15-x，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠EBC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠EBD′，
∴BD′=ED′=15-x，
∴A′D′=15-2x，
在Rt△BA′D′中，
∵BD′²=BA′²+A′D′²，
∴8²+（15-2x）²=（15-x）²，
解得x=$\frac{15±\sqrt{33}}{3}$，
∴AE=$\frac{15+\sqrt{33}}{3}$或$\frac{15-\sqrt{33}}{3}$．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．