Question

7．如图，抛物线y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在y轴上是否存在点M使△ACM为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 令x=0可求得对应的y值，从而可求得点C的坐标，令y=0可求得对应的x的值，可求得点A的坐标，然后设点M的坐标（0，a），分为AM=AC、AM=MC、CA=CM三种情况，并结合两点间的距离公式列方程求解即可．

解答 解：∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3）．
令y=0得：-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3=0，解得：x=-2或x=4，
∴A（-2，0）．
∴AC²=3²+（-2）²=13．
设点M的坐标为（0，a）．
当AC=AM时，由两点间的距离公式可知：2²+a²=13，解得a=3（舍去），或a=-3，
∴点M的坐标为（0，-3）．
当AC=CM时，由两点间的距离公式可知：（a-3）²=13，解得：a=3±$\sqrt{13}$，
∴点M的坐标为（0，3+$\sqrt{13}$）或（0，3-$\sqrt{13}$）．
当AM=CM时，由两点间的距离公式可知：2²+a²=（3-a）²，a=$\frac{5}{6}$．
∴点M的坐标为（0，$\frac{5}{6}$）．
综上所述，点M的坐标为（0，-3）或（0，3+$\sqrt{13}$）或（0，3-$\sqrt{13}$）或（0，$\frac{5}{6}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了两点间的距离公式、等腰三角形的性质、二次函数与坐标轴的交点等知识，分类讨论是解题的关键．