Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．
（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？
（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）由等边三角形的性质易证AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°；然后由图示知∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，即∠CAO=∠PAB．所以根据SAS证得结论；
（2）利用（1）中的结论PB⊥AB．根据等边三角形的性质易求点B的坐标为B（

3 3

2

，

3

2

）．再由旋转的性质得到当点P移动到y轴上的坐标是（0，-3），所以根据点B、P的坐标易求直线BP的解析式．

解答：（1）证明：∵△AOB与△ACP都是等边三角形，
∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，
∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，
∴∠CAO=∠PAB，
在△AOC与△ABP中，

AO=AB ∠CAO=∠PAB AC=AP

∴△AOC≌△ABP（SAS）．
∴∠COA=∠PBA=90°，
∴点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°．
故结论是：点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°；

（2）解：点P在过点B且与AB垂直的直线上．
∵△AOB是等边三角形，A（0，3），
∴B（

3 3

2

，

3

2

）．
当点C移动到点P在y轴上时，得P（0，-3）．
设点P所在的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．把点B、P的坐标分别代入，得

3 3 2 k+b= 3 2 b=-3

，
解得

k= 3 b=-3

，
所以点P所在的函数图象的解析式为：y=

3

x-3．

点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识．解答（2）题时，求得点P位于y轴负半轴上的坐标是解题的关键．