Question

如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠BAC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：
（1）∠ADB=45°；
（2）BE=2CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）求出A、B、C、D四点共圆，推出∠ADB=∠ACB，求出∠ACB=∠ABC=45°即可；
（2）延长BA和CD交于Q，证△ABE≌△ACQ，求出BE=CQ，求出∠BDC=∠BDQ=90°，证△QDB≌△CDB，推出CD=DQ即可．

解答：证明：（1）∵CD⊥BE，∠BAC=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADB=∠ACB，
∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ADB=45°；

（2）
延长BA和CD交于Q，
∵∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°，
∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°，
∴∠ACQ=∠ABE，
在△ABE和△ACQ中，

∠ABE=∠ACQ AB=AC ∠BAE=∠CAQ

，
∴△ABE≌△ACQ（ASA），
∴BE=CQ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠QBD=∠CBD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠BDQ=90°，
在△QDB和△CDB中，

∠QBD=∠CBD BD=BD ∠BDQ=∠BDC

，
∴△QDB≌△CDB（ASA），
∴CD=DQ，
∴CQ=2CD，
∴BE=2CD．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，题目是一道比较好的题目，难度适中．