Question

3．如图，已知等腰三角形ABC接于半径为5的⊙O，AB=AC，且tanB=$\frac{1}{3}$
（1）求BC的长；    
（2）求AB边上的高．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，OB=OC，利用线段垂直平分线逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{3}$，再利用勾股定理求出AD的长，进而求得BD的长，根据垂径定理即可求得BC；
（2）由（1）可知AD=1，即可求得AB边上的高为1．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AO垂直平分BC，
∴OA⊥BC，D为BC的中点，
∵tan∠ABC=$\frac{1}{3}$=$\frac{AD}{BD}$，
设AD=x，BD=3x，由勾股定理得：（5-x）²+（3x）²=5²，
解得x=1，
∴AD=1，BD=3，
∴BC=2BD=6；
（2）由（1）可知AD=1，AD⊥BC，
所以AB边上的高为1．

点评 此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．