Question

4．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．
（1）如图1，探究∠AME，∠E，∠ENC的数量关系；并加以证明．
（2）如图2，∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数．
（3）如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，直接写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含m的式子表示）

Answer 1

分析 （1）过点E作l∥AB，利用平行线的性质可得∠1=∠BME，∠2=∠DNE，由∠MEN=∠1+∠2，等量代换可得结论；
（2）利用角平分线的性质可得∠NEF=$\frac{1}{2}$∠MEN，∠ENP=$\frac{1}{2}$∠END，由EQ∥NP，可得∠QEN=∠ENP=$\frac{1}{2}$∠ENC，由（1）的结论可得∠MEN=∠BME+∠END，等量代换得出结论；
（3）由已知可得∠EMN=$\frac{1}{m}$∠BMN，∠GEN=$\frac{1}{m}$∠GEK，由EH∥MN，可得∠HEM=∠ENM=$\frac{1}{m}$∠BMN，因为∠GEH=∠GEM-∠HEM，等量代换得出结论．

解答 解：（1）如图1，过点E作l∥AB，
∵AB∥CD，
∴l∥AB∥CD，
∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE，
∵∠MEN=∠1+∠2，
∴∠E=∠AME+∠ENC；

（2）∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠NEF=$\frac{1}{2}$∠MEN，∠ENP=$\frac{1}{2}$∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠QEN=∠ENP=$\frac{1}{2}$∠ENC，
∵∠MEN=∠AME+∠ENC，
∴∠MEN-∠ENC=∠AME=30°，
∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ
=$\frac{1}{2}$∠MEN-$\frac{1}{2}$∠ENC，
=$\frac{1}{2}$×30°=15°；

（3）m∠GEH=∠GEK-∠AMN．
∵∠AMN=m•∠EMN，∠GEK=m•∠GEM，
∴∠EMN=$\frac{1}{m}$∠AMN，∠GEN=$\frac{1}{m}$∠GEK，
∵EH∥MN，
∴∠HEM=∠EMN=$\frac{1}{m}$∠AMN，
∵∠GEH=∠GEM-∠HEM，
=$\frac{1}{m}$∠GEK-$\frac{1}{m}$∠AMN，
∴m∠GEH=∠GEK-∠AMN，
∵∠BMN=180°-∠AMN，
∴∠BMN+∠KEG-m∠GEH=180°．

点评 本题主要考查了平行线的性质，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．