Question

19．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC位矩形，O为坐标原点，C在x轴上，OA，OC的长满足|OA-5|+（OC-13）²=0．
（1）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求点D的坐标；
（2）如图2，在OA、OC边上选取适当的点M、N，将△MON沿MN折叠，使O点落在AB边上的F点，过F作G∥y轴交MN于点T，交OC于点G，求证：TG=AM；
（3）在（2）的条件下，设T（x，y），探究y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）在（3）的条件下，当x=3时，点Q在坐标轴上，直线MN上存在点P，使以M、F、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出Q点坐标．

Answer 1

分析 （1）在Rt△DBC中，根据DB=$\sqrt{D{C}^{2}-B{C}^{2}}$，即可解决问题．
（2）只要证明OM=MF，MF=FT即可．
（3）如图3中，连接OT，在Rt△OTG中利用勾股定理即可解决问题．
（4）分MF为对角线，MF为边两种情形讨论即可．

解答 解：（1）如图1中，

∵|OA-5|+（OC-13）²=0，
又∵|OA-5|≥0，（OC-13）²≥0，
∴OA=5，OC=13，
∵△DEC是由△OEC翻折得到，
∴CD=OC=13，
在Rt△DBC中，DB=$\sqrt{D{C}^{2}-B{C}^{2}}$=12，
∴AD=1，
∴点D坐标（1，5）．

（2）如图2中，

∵MF=MO，∠FMN=∠OMN，
∵OM∥ET，
∴∠OMT=∠FTM，
∴∠FMT=∠FTM，
∴FM=FT，
∴OM=FT，∵OA=FG，
∴AM=TG．

（3）如图3中，连接OT，

由（2）可得OT=FT，
由勾股定理可得x²+y²=（5-y）²，
得y=-$\frac{1}{10}$x²+$\frac{5}{2}$．
结合（1）可得AF=OG=1时，x最小，从而x≥1，
当MN恰好平分∠OAB时，AF最大即x最大，
此时G点与N点重合，四边形AONF为正方形，
故x最大为5．
从而x≤5，1≤x≤5．

（4）如图4中，x=3时，y=$\frac{8}{5}$，即点T坐标（3，$\frac{8}{5}$）．

∴OM=FT=5-$\frac{8}{5}$=$\frac{17}{5}$，
①当MF为对角线时，点Q与T重合，PM=FT=$\frac{17}{5}$，
∴OP=$\frac{34}{5}$，
∴此时点P坐标（0，$\frac{34}{5}$）．
②FM为边时，∵四边形MFQP是平行四边形，
又∵四边形FMOT是平行四边形，
∴点Q与T重合，点P与点O重合，
∴点P坐标（0，0），
综上所述，以M、F、Q、P为顶点的四边形是平行四边形时，点Q坐标（0，0）或（0，$\frac{34}{5}$）．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．