Question

2．如图，已知矩形ABCD的两点C、D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，点A和点B都在坐标轴上，且B的坐标为（1，0），AB=2BC，则k=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，设C（a，b），通过求得△DAF≌△BCE和△OAB∽△EBC，可得出点D的坐标，将点D、C的坐标代入函数解析式可得出k关于a的表达式，可求出a的值，继而得出k的值．

解答 解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，
设C（a，b），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠DAF+∠BAO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAF=∠ABO，
∵∠CBE+∠ABO=90°，∠ECB+∠CBE=90°，
∴∠ABO=∠ECB，
∴∠DAF=∠ECB，
在△DAF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠ECB}\\{∠AFD=∠CEB=90°}\\{AD=BC}\end{array}\right.$
∴△DAF≌△BCE（AAS），
∴DF=BE，AF=CE，
∵∠ABO=∠ECB，∠AOB=∠CEB=90°，
∴△OAB∽△EBC，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{OB}{CE}$=$\frac{OA}{BE}$，
∵AB=2BC，
∴OB=2CE=2b，OA=2BE，
∵B的坐标为（1，0），
∴b=$\frac{1}{2}$，
∴AF=CE=$\frac{1}{2}$，DF=BE=a-1
∴OA=2BE=2a-2，
∴OF=OA+AF=2a-$\frac{3}{2}$，
∴D（a-1，2a-$\frac{3}{2}$），
∵点C、D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴（a-1）（2a-$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$a，
整理得，4a²-8a+3=0，解得a₁=$\frac{1}{2}$（舍去），a₂=$\frac{3}{2}$，
∴a=$\frac{3}{2}$，
∴k=ab=$\frac{3}{4}$．
故答案为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数的综合题，涉及了矩形的性质、三角形全等和三角形相似的知识，本题的关键是通过三角形全等和三角形相似表示出D点的坐标，然后通过k=xy列出关于a的方程．