题目内容
如图，如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，
∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为
，若
ABC固定不动，
AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（3）以
ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系
（如图2），在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；
（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。
∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为
，若
ABC固定不动，
AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（3）以
ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；
（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。
解： ABE∽ DAE， ABE∽ DCA ∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45° ∴  ABE∽ DCA （2）∵  ABE∽ DCA ∴  ， 由依题意可知 CA=BA=1∴ m=  自变量n的取值范围为  ；（3） 由BD=CE可得BE=CD，即m=n ∵m=  ∴m=n=1，∵OB=OC=  ， BC=   ，D（ -1，0）∴BD=OB=OD=  -1=CE ，DE=2OD=2- ，∴BD2+CE2=2BD2=6-4   ∴  （4）成立 证明：如图，将  ACE绕点A顺时针旋转90°至 ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90° 连接HD，在  EAD和 HAD中 ∵AE=AH， ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD， AD=AD ∴  EAD≌ HAD ∴DH=DE 又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° ∴BD2+HB2=DH2 即BD2+CE2=DE2 |
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