Question

10．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠ACO：∠BOC=1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图（1）中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为90度；
（2）继续将图2中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转至ON落在∠AOC的内部（如图3位置）．
①当三角板的直角边ON恰好平分∠AOC时，此时三角板从图2位置旋转到该位置时旋转的角度为150度．
②试探究图3位置时，∠AOM与∠CON之间满足什么等量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质知，旋转角是∠MON；
（2）①如图3，利用平角的定义，结合已知条件“∠AOC：∠BOC=1：2”求得∠AOC=60°，进而得出∠AON=30°，∠AOM=60°，根据旋转的性质即可求得旋转角度为150°；
②由∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，即可推知∠AOM-∠NOC=30°．

解答 解：（1）由旋转的性质知，旋转角∠MON=90°．
故答案是：90；

（2）①如图3，设∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得∠BOC=2α．
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴α+2α=180°．
解得 α=60°．
即∠AOC=60°．
当三角板的直角边ON恰好平分∠AOC时，∠AON=30°，
∴∠AOM=60°，
∴旋转角度为：90°+60°=150°；
故答案为：150；
②∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．
故∠AOM-∠NOC=30°．

点评 本题综合考查了旋转的性质，角的计算．认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．．