Question

15．求半径为6的⊙O外切正三角形ABC和内接正方形DEFG的面积比．

Answer 1

分析 设⊙O与BC相切于点M，连接OM、OB、OD、OE，如图所示，在Rt△OBM中，求出BM、BC，在Rt△DOE中，求出DE即可解决问题．

解答 解：设⊙O与BC相切于点M，连接OM、OB、OD、OE，如图所示：
则∠OMB=90°，∠OBM=30°，
∴BM=2OM=12，BC=2BM=24，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$24²=144$\sqrt{3}$，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$OD=6$\sqrt{2}$，
∴S_{正方形DEFG}=72，
∴S_△ABC：S_{正方形DEFG}=144$\sqrt{3}$：72=2$\sqrt{3}$：1．

点评 本题考查了正方形的性质、正三角形的性质、正多边形与圆的关系；熟练掌握正三角形和正方形的性质，由题意求出正三角形内切圆的半径是解决问题的关键．