Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC.

(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；

(2) 求证：∠ACF=90°；

(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图. 若EC=4，∠CEF=15°，求 AE 的长.

                        

Answer 1

（1）BE=FH。理由如下：

         ∵四边形ABCD是正方形  ∴∠B=90，

∵FHBC   ∴∠FHE=90

又∵∠AEF=90°   ∴∠AEB+∠HEF=90°   且∠BAE+∠AEB=90°

∴∠HEF=∠BAE   ∴ ∠AEB=∠EFH    又∵AE=EF

∴ △ABE≌△EHF（SAS）

∴BE=FH

(2)∵△ABE≌△EHF

∴BC=EH，BE=FH   又∵BE+EC=EC+CH  ∴BE=CH

∴CH=FH

∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°

∵AC是正方形对角线，∴ ∠ACD=45°

∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°

（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形

     △AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上。设该中点为O。连结EO，得∠AOE=90°

过E作EN⊥AC于点N

RT△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=

RT△ENA中，EN =  

又∵∠EAF=45°  ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30°

∴AE=

RT△AFE中，AE== EF，∴AF=8

 AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°

AE=2π·4·（90°÷360°）=2π