Question

7．关于x的一元二次方程ax²-2（a+1）x+a-1=0有两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使此方程两个实数根的平方和等于2？若存在求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的根的判别式△=0，建立关于a的等式，由此求出a的取值．
（2）利用根与系数的关系，化简x₁²+x₂²=2，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2，根据根与系数的关系即可得到关于a的方程，解得a的值，再判断a是否符合满足方程根的判别式．

解答 解（1）∵关于x的一元二次方程ax²-2（a+1）x+a-1=0有两个实数根，
∴△≥0且a≠0，
∴△=4（a+1）²-4a（a-1）=12a+4≥0，
∴a≥-$\frac{1}{3}$且a≠0；
（2）∵此方程两个实数根的平方和等于2，设方程两根分别为x₁+x₂，
∴x₁²+x₂²=2，
∵x₁+x₂=$\frac{2a+2}{a}$，x₁x₂=$\frac{a-1}{a}$，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2，
∴（$\frac{2a+2}{a}$）²-$\frac{2a-2}{a}$=2，
∴解得a=-$\frac{2}{5}$，
∵a≥-$\frac{1}{3}$且a≠0，
∴不存在实数a使此方程两个实数根的平方和等于2．

点评 本题主要考查了根的判别式与根与系数关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根的判别式求出a的取值范围，此题难度不大．