Question

正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C重合），另一条直角边与边CD的延长线交于点F．
（1）如图①，求证：AE=AF；
（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN与边CD交于点G，且点G是斜边MN的中点，连接EG，求证：EG=BE+DG．
（3）在（2）的条件下，如果

AB

GF

=

6

5

，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据正方形的性质得出∠ABC=∠ADF=90°，进而得出△ABE≌△ADF，即可得出AE=AF；
（2）利用全等三角形的判定得出△AEG≌△AFG（SAS），进而得出EG=BE+DG；
（3）首先设AB=5k，GF=6k，再假设BE=x，则CE=6k-x，EG=5k，得出CF=CD+DF=6k+x，CG=CF-GF=6k+x-5k=k+x，进而利用勾股定理得出x的值，进而比较得出答案．

解答：解：（1）正方形ABCD中，AB=AD，
∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°
∴∠ABC=∠ADF=90°，
∵∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中

∠B=∠ADF AB=AD ∠BAE=∠DAF

，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF；

（2）连接AG，
∵点G是斜边MN的中点，∴∠EAG=∠FAG=45°，
AG=AG，
在△AEG和△AFG中

AE=AF ∠EAG=∠FAG AG=AG

，
∴△AEG≌△AFG（SAS），
∴EG=GF，
∴EG=DG+DF，
∵BE=DF，
∴EG=BE+DG；

（3）∵

AB

GF

=

6

5

，
∴设AB=6k，GF=5k，
设BE=x，则CE=6k-x，EG=5k，
CF=CD+DF=6k+x，
CG=CF-GF=6k+x-5k=k+x，
∴Rt△ECG中，（6k-x）²+（k+x）²=（5k）²，
∴2x²-10kx+12k²=0 即x²-5kx+6k²=0，
解得：x₁=2k，x₂=3k，
∴CG=3k或CG=4k，
两种情况都成立，
∴点G不一定是边CD的中点．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，根据已知熟练利用正方形的性质以及全等三角形的判定定理是解题关键．