Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（5，0）两点，直线y=-

3

4

x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE=5EF，求m的值；
（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；
（3）解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解；当四边形PECE′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标．

解答：解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：

-1-b+c=0 -25+5b+c=0

，解得

b=4 c=5

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+4x+5．

（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，-m²+4m+5），E（m，-

3

4

m+3），F（m，0）．
∴PE=|y_P-y_E|=|（-m²+4m+5）-（-

3

4

m+3）|=|-m²+

19

4

m+2|，
EF=|y_E-y_F|=|（-

3

4

m+3）-0|=|-

3

4

m+3|．
由题意，PE=5EF，即：|-m²+

19

4

m+2|=5|-

3

4

m+3|=|-

15

4

m+15|
①若-m²+

19

4

m+2=-

15

4

m+15，整理得：2m²-17m+26=0，
解得：m=2或m=

13

2

；
②若-m²+

19

4

m+2=-（-

15

4

m+15），整理得：m²-m-17=0，
解得：m=

1+ 69

2

或m=

1- 69

2

．
由题意，m的取值范围为：0＜m＜5，故m=

13

2

、m=

1- 69

2

这两个解均舍去．
∴m=2或m=

1+ 69

2

．

（3）假设存在．
作出示意图如下：

∵点E、E′关于直线PC对称，
∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．
∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，∴PE=CE，
∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．
当四边形PECE′是菱形存在时，
由直线CD解析式y=-

3

4

x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．
过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，
∴

ME

OD

=

CE

CD

，即

|m|

4

=

CE

5

，解得CE=

5

4

|m|，
∴PE=CE=

5

4

|m|，又由（2）可知：PE=|-m²+

19

4

m+2|
∴|-m²+

19

4

m+2|=

5

4

|m|．
①若-m²+

19

4

m+2=

5

4

m，整理得：2m²-7m-4=0，解得m=4或m=-

1

2

；
②若-m²+

19

4

m+2=-

5

4

m，整理得：m²-6m-2=0，解得m₁=3+

11

，m₂=3-

11

．
由题意，m的取值范围为：-1＜m＜5，故m=3+

11

这个解舍去．

当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，
此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，菱形不存在，即P点为（0，5）．
综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（-

1

2

，

11

4

），（4，5），（3-

11

，2

11

-3），（0，5）．

点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点，重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活运用．需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算．