Question

18．如图，直线l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且OM=ON=3．
（1）求这条直线的函数表达式；
（2）Rt△ABC与直线l在同一个平面直角坐标系内，其中∠ABC=90°，AC=2$\sqrt{5}$，A（1，0），B（3，0），将△ABC沿着x轴向左平移，当点C落在直线l上时，求线段AC扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）根据OM=ON=3结合图形可得出点M、N的坐标，由点M、N的坐标利用待定系数法即可求出直线MN的函数表达式；
（2）通过解直角三角形可得出点C的坐标，设平移后点A、C的对应点分别为A′、C′，利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点C′的坐标，根据平移的性质结合平行四边形的面积公式即可求出线段AC扫过的面积．

解答 解：（1）设该直线的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
∵OM=ON=3，且M、N分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，
∴M（-3，0），N（0，-3）．
将M（-3，0）、N（0，-3）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴这条直线的函数表达式为y=-x-3．

（2）∵A（1，0），B（3，0），
∴AB=2．
∵∠ABC=90°，AC=2$\sqrt{5}$，
∴BC=4，
∴C（3，4）．
设平移后点A、C的对应点分别为A′、C′，
当y=-x-3=4时，x=-7，
∴C′（-7，4），
∴CC′=10．
∵线段AC扫过的四边形ACC′A′为平行四边形，
∴S=CC′•BC=10×4=40．
答：线段AC扫过的面积为40．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、解直角三角形、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的面积以及坐标与图形变化中的平移，解题的关键是：（1）根据点M、N的坐标利用待定系数法求出直线MN的函数表达式；（2）通过解直角三角形以及一次函数图象上点的坐标特征找出点C、C′的坐标．