Question

14．阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b$\sqrt{2}$=（m+n$\sqrt{2}$）²（其中a、b、m、n均为正整数）则有：a+b$\sqrt{2}$=m²+2n²+2mn$\sqrt{2}$，所以a=m²+2n²，b=2mn．这样小明就找到了一种把a+b$\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法．
请仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=m²+3n²，b=2mn
（2）若a+4$\sqrt{3}$=（m+n$\sqrt{3}$）²（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式把（m+n$\sqrt{3}$）²展开即可得到a、b的值；
（2）利用（1）中结论得到a=m²+3n²，2mn=4，即mn=2，利用有理数的整除性确定m和n的值，然后计算a的值．

解答 解：（1）（m+n$\sqrt{3}$）²=m²+3n²+2mn$\sqrt{3}$，
所以a=m²+3n²，b=2mn；
故答案为m²+3n²，2mn；
（2）由（1）得a=m²+3n²，2mn=4，
而a、b、m、n均为正整数，
所以m=2，n=1或m=1，n=2．
所以当m=2，n=1时，a=2²+3×1²=7．
当m=1，n=2时，a=1²+3×2²=13．

点评 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．也考查了阅读理解能力．