Question

5．如图，已知△ABC和△ABD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BAD=90°，点P为边AC上任意一点（点P不与A、C两点重合），作PE⊥PB交AD于点E，交AB于点F．
（1）求证：∠AEP=∠ABP．
（2）猜想线段PB、PE的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得∠EPB=∠BAD=90°，再由∠AEP=90°-∠AFE，∠ABP=90°-∠PFB，∠AFE=∠PFB可得∠AEP=∠ABP；
（2）过P作PM⊥AC交AB于M，证明△APE≌△MPB可得PB=PE；

解答 证明：（1）∵PE⊥PB，
∴∠EPB=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠AEP=90°-∠AFE，∠ABP=90°-∠PFB，
∵∠AFE=∠PFB，
∴∠AEP=∠ABP；

（2）结论：PB=PE，
理由：过P作PM⊥AC交AB与M，
在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°，
∴∠PAM=∠AMP=45°，
∴PA=PM，
∵∠PAE=45°+90°=135°，∠PMB=180°-45°=135°，
∴∠PAE=∠PMB，
在△AEP和△MBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠PMB}\\{∠AEP=∠ABP}\\{AP=PM}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△MPB（AAS），
∴PB=PE；

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质/等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．