Question

6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=$\frac{1}{4}$CD．
（1）求线段AF的长．
（2）试判断△AEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）可以通过勾股定理求得为线段AF=5；
（2）通过勾股定理再求得AE，EF的长，利用勾股定理的逆定理证明．

解答 解：（1）∵CF=$\frac{1}{4}$CD，CD=4，
∴CF=1，
∴DF=4-1=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
（2）△AEF为直角三角形，理由是：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=4，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC=2，
同理利用勾股定理得：AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
EF=$\sqrt{E{C}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
可得：AE²+EF²=AF²，
∴△AEF为直角三角形．

点评 此题考查正方形的性质，勾股定理、勾股定理逆定理的运用，注意在正方形中的直角三角形的应用．