Question

点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  3

  2

• C、

  3 3

  4

• D、

  3

Answer 1

分析：根据所给的图形结合三角函数的知识可得出AC、BC、BE、CE的长度，然后根据四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠得出S_阴影=S_△ADC+S_△BCE，继而可得出答案．

解答：解：易知D、C、E三点共线，
点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，
∴

AC

对的圆心角为

180°

3

=60°，
∴∠ABC=30°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=

1

2

AB=1，BC=AB•COS30°=

3

，
BE=BC•COS30°=

3

2

，CE=DC=

3

2

，AD=

1

2

，
且四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠．
从而，S_阴影=S_梯形ABED+

π

2

(

1

4

AD2+

1

4

DC2+

1

4

CE2+

1

4

BE2)-S_△ABC-

π

2

(

1

4

AC2+

1

4

BC2)，
=S_△ADC+S_△BCE，
=

1

2

×

1

2

×

3

2

+

1

2

×

3

2

×

3

2

=

3

2

．
故选B．

点评：本题考查了面积及等积变换的知识，难度较大，关键是仔细观察图形得出要求阴影部分面积的另一种表达方式，从而进行变换求解．