Question

5．如图，⊙O半径为3，Rt△ABC的顶点A，B在⊙O上，∠A=30°，点C在⊙O内，当点A在圆上运动时，OC的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 连接AO，当OC⊥OA时，OC最短，由∠B=90°，得到BC延长线与AO的延长线交于D，点D会在圆上，得到AC=CD，解直角三角形得到CD=AC=2CB，AB=$\sqrt{3}$BC，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：连接AO，当OC⊥OA时，OC最短，
∵∠B=90°，
∴BC延长线与AO的延长线交于D，点D会在圆上，
∵OC⊥AD，OA=OD，
∴AC=CD，
∵∠CAB=30°，
∴CD=AC=2CB，AB=$\sqrt{3}$BC，
∵AD²=BD²+AB²=9BC²+3BC²，
∴BC=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∵AO=3，
∴OC=$\sqrt{3}$．
故选C．

点评 本题考查了圆周角定理，垂线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．