Question

11．如图，矩形ABCD中，点E是∠ABC的平分线上一点，且AE⊥CE于点E，连接ED，BE与AD边相交于点F．
（1）求证：EF=ED．
（2）若AB=3，BC=5，求四边形BCDE的面积．

Answer 1

分析 （1）证得A、B、C、E四点共圆后得到∠CAE=∠3=∠2（在同圆中，等弦对等弧），然后证得A、C、D、E四点共圆，后得到∠7=∠6，利用等角对等边证得EF=ED；
（2）分别求得S_△EFD和S_梯形BCDF，二者相加即可求得四边形BCDE的面积．

解答 （1）证明：
∵∠B=∠AEC=90°
∴A、B、C、E四点共圆（对角互补的四边形在同一个圆上），
∴∠CAE=∠3=∠2（在同圆中，等弦对等弧），
BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2=45°，∠5=90°-∠1=45°，
∴∠3=∠4=45°，
又∠AEC=∠ADC=90°，
∴A、C、D、E四点共圆（线段同侧张等角，则四点共圆），
∴∠7=∠4=45°，
而∠6=∠5=45°，
∴∠7=∠6，
∴EF=ED；

（2）FD=AD-AF=5-3=2，
    EF=ED=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$
∴S_△EFD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1
S_梯形BCDF=CD×（FD+BC）÷2
=3×（2+5）÷2
=10.5，
∴S_{四边形BCDE}=1+10.5=11.5．

点评 本题考查了矩形的性质及角平分线的性质，解题的关键是在复杂的图形中发现四点共圆并利用同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角相等，难度不大．