Question

1．如图，I为△ABC内角∠BAC、∠ACB平分线的交点，∠BAC=80°，∠ACB=60°，AC=4，BC=6，则AI=2．

Answer 1

分析 如图，作IM∥AB交BC于M．先证明△ICA≌△ICM，推出CA=CM=4，再证明四边形ABMI是等腰梯形即可解决问题．

解答 解：如图，作IM∥AB交BC于M．

∵∠BAC=80°，∠ACB=60°，
∴∠B=180°-80°-60°=40°，
∵IA平分∠BAC，IC平分∠ACB，
∴∠IAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°，∠ICA=∠ICM=30°，
∴∠IMC=∠B=∠IAC=40°，
在△ICA和△ICM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ICA=∠ICM}\\{∠IAC=∠IMC}\\{IC=IC}\end{array}\right.$，
∴△ICA≌△ICM，
∴AC=CM=4，
∵BC=BC-AC=2，
∵∠B=∠IAB=40°，IM∥AB，
∴四边形ABMI是等腰梯形，
∴AI=BM=2，
故答案为2

点评 本题科学三角形内角和定理、等腰梯形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．