Question

已知抛物线C₁：y=a（x+1）²-2的顶点为A，且经过点B（-2，-1）．
（1）求A点的坐标和抛物线C₁的解析式；
（2）如图1，将抛物线C₁向下平移2个单位后得到抛物线C₂，且抛物线C₂与直线AB相交于C，D两点，求S_△OAC：S_△OAD的值；
（3）如图2，若过P（-4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C₂对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的增减性

专题：压轴题,存在型

分析：（1）由抛物线的顶点式易得顶点A坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题．
（2）根据平移法则求出抛物线C₂的解析式，用待定系数法求出直线AB的解析式，再通过解方程组求出抛物线C₂与直线AB的交点C、D的坐标，就可以求出S_△OAC：S_△OAD的值．
（3）设直线m与y轴交于点G，直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形形状、位置随着点G的变化而变化，故需对点G的位置进行讨论，借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减性等知识求出符合条件的点G的坐标，从而求出相应的直线m的解析式．

解答：解：（1）∵抛物线C₁：y=a（x+1）²-2的顶点为A，
∴点A的坐标为（-1，-2）．
∵抛物线C₁：y=a（x+1）²-2经过点B（-2，-1），
∴a（-2+1）²-2=-1．
解得：a=1．
∴抛物线C₁的解析式为：y=（x+1）²-2．

（2）∵抛物线C₂是由抛物线C₁向下平移2个单位所得，
∴抛物线C₂的解析式为：y=（x+1）²-2-2=（x+1）²-4．
设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵A（-1，-2），B（-2，-1），
∴

-k+b=-2 -2k+b=-1

解得：

k=-1 b=-3

∴直线AB的解析式为y=-x-3．
联立

y=(x+1)2-4 y=-x-3

解得：

x=-3 y=0

或

x=0 y=-3

．
∴C（-3，0），D（0，-3）．
∴OC=3，OD=3．
过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
过点A作AF⊥y轴，垂足为F，
∵A（-1，-2），
∴AF=1，AE=2．
∴S_△OAC：S_△OAD
=（

1

2

OC•AE）：（

1

2

OD•AF）
=（

1

2

×3×2）：（

1

2

×3×1）
=2．
∴S_△OAC：S_△OAD的值为2．

（3）设直线m与y轴交于点G，设点G的坐标为（0，t）．
1．当直线m与直线l平行时，则有CG∥PQ．
∴△OCG∽△OPQ．
∴

OC

OG

=

OP

OQ

．
∵P（-4，0），Q（0，2），
∴OP=4，OQ=2，
∴

3

OG

=

4

2

．
∴OG=

3

2

．
∵当t=

3

2

时，直线m与直线l平行，
∴直线l，m与x轴不能构成三角形．
∴t≠

3

2

．
2．当直线m与直线l相交时，设交点为H，
①t＜0时，如图2①所示．
∵∠PHC＞∠PQG，∠PHC＞∠QGH，
∴∠PHC≠∠PQG，∠PHC≠∠QGH．
当∠PHC=∠GHQ时，
∵∠PHC+∠GHQ=180°，
∴∠PHC=∠GHQ=90°．
∵∠POQ=90°，
∴∠HPC=90°-∠PQO=∠HGQ．
∴△PHC∽△GHQ．
∵∠QPO=∠OGC，
∴tan∠QPO=tan∠OGC．
∴

OQ

OP

=

OC

OG

．
∴

2

4

=

3

OG

．
∴OG=6．
∴点G的坐标为（0，-6）
设直线m的解析式为y=mx+n，
∵点C（-3，0），点G（0，-6）在直线m上，
∴

-3m+n=0 n=-6

．
解得：

m=-2 n=-6

．
∴直线m的解析式为y=-2x-6，
联立

y=(x+1)2-4 y=-2x-6

，
解得：

x=-1 y=-4

或

x=-3 y=0

∴E（-1，-4）．
此时点E就是抛物线的顶点，符合条件．
∴直线m的解析式为y=-2x-6．
②当t=0时，
此时直线m与x轴重合，
∴直线l，m与x轴不能构成三角形．
∴t≠0．
③O＜t＜

3

2

时，如图2②所示，
∵tan∠GCO=

OG

OC

=

t

3

＜

1

2

，
tan∠PQO=

OP

OQ

=

4

2

=2，
∴tan∠GCO≠tan∠PQO．
∴∠GCO≠∠PQO．
∵∠GCO=∠PCH，
∴∠PCH≠∠PQO．
又∵∠HPC＞∠PQO，
∴△PHC与△GHQ不相似．
∴符合条件的直线m不存在．
④

3

2

＜t≤2时，如图2③所示．
∵tan∠CGO=

OC

OG

=

3

t

≥

3

2

，
tan∠QPO=

OQ

OP

=

2

4

=

1

2

．
∴tan∠CGO≠tan∠QPO．
∴∠CGO≠∠QPO．
∵∠CGO=∠QGH，
∴∠QGH≠∠QPO，
又∵∠HQG＞∠QPO，
∴△PHC与△GHQ不相似．
∴符合条件的直线m不存在．
⑤t＞2时，如图2④所示．
此时点E在对称轴的右侧．
∵∠PCH＞∠CGO，
∴∠PCH≠∠CGO．
当∠QPC=∠CGO时，
∵∠PHC=∠QHG，∠HPC=∠HGQ，
∴△PCH∽△GQH．
∴符合条件的直线m存在．
∵∠QPO=∠CGO，∠POQ=∠GOC=90°，
∴△POQ∽△GOC．
∴

OP

OG

=

OQ

OC

．
∴

4

OG

=

2

3

．
∴OG=6．
∴点G的坐标为（0，6）．
设直线m的解析式为y=px+q
∵点C（-3，0）、点G（0，6）在直线m上，
∴

-3p+q=0 q=6

．
解得：

p=2 q=6

．
∴直线m的解析式为y=2x+6．
综上所述：存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似，
此时直线m的解析式为y=-2x-6和y=2x+6．

点评：本题考查了二次函数的有关知识，考查了三角形相似的判定与性质、三角函数的定义及增减性等知识，考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，考查了通过解方程组求两个函数图象的交点，强化了对运算能力、批判意识、分类讨论思想的考查，具有较强的综合性，有一定的难度．