Question

3．如图△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，求DE的长．

Answer 1

分析 把△AEC绕点A顺时针旋转120°得到△AE′B，再结合条件可证明△AE′D≌△AED，可得DE′=DE，过E′作EF⊥BD于点F，可求得DF和E′F的长，在Rt△E′FD中可求得DE′，则可求得DE．

解答 解：
∵AB=AC，
∴可把△AEC绕点A顺时针旋转120°得到△AE′B，
∴BE′=EC=8，AE′=AE，∠E′AB=∠EAC，
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠EAC=60°，
∴∠E′AD=∠E′AB+∠BAD=60°，
在△E′AD和△EAD中
$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AE}\\{∠E′AD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△E′AD≌△EAD（SAS），
∴E′D=ED，
过E′作EF⊥BD于点F，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠C=∠E′BA=30°，
∴∠E′BF=60°，
∴∠BE′F=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE′=4，E′F=4$\sqrt{3}$，
∵BD=5，
∴FD=BD-BF=1，
在Rt△E′FD中，由勾股定理可得E′D=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=7，
∴DE=7．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及直角三角形的性质，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．