Question

如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，点P在AC上（与点A，C不重合），点Q在BC上．
（1）△CPQ的边PQ上的高为

3

5

时，求△CPQ的周长；
（2）当△CPQ的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：（1）根据勾股定理的逆定理求出∠C=90°，求出BA边上的高，根据相似得出比例式，代入求出即可；
（2）求出CQ=6-CP，证△PQC∽△ABC得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴BC²+AC²=AB²，
∴∠C=90°，
设AB边上的高为h，
则

1

2

×3×4=

1

2

×5h，
∴h=

12

5

，
∵PQ∥AB，
∴△CQP∽△CBA，
∴

CQ

CB

=

CP

CA

=

PQ

AB

=

3 5

12 5

=

1

4

，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴CQ=

3

4

，CP=1，PQ=

5

4

，
∴△CPQ的周长CQ+CP+PQ=

3

4

+1+

5

4

=3；

（2）∵△CPQ的周长与四边形PABQ的周长相等，
∴CP+CQ+PQ=BQ+PQ+PA+AB=

1

2

（AB+BC+AC）=6，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴CP+CQ=3-CQ+4-CP+5，
2CQ+2CP=12，
CQ+CP=6，
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
∴

CQ

CB

=

CP

AC

，
即

6-CP

3

=

CP

4

，
解得：CP=

24

7

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，难度适中．