Question

14．某电子厂生产一种新型电子产品，每件制造成本为20元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为400万元？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过520万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？

Answer 1

分析 （1）根据每月的利润z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，
（2）把z=440代入z=-2x²+136x-1800，解这个方程即可；
（3）根据厂商每月的制造成本不超过540万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润．

解答 解：（1）z=（x-20）y=（x-20）（-2x+100）=-2x²+140x-2000，
故z与x之间的函数解析式为z=-2x²+140x-2000；
（2）由z=400，得400=-2x²+140x-2000，
解这个方程得x₁=30，x₂=40
所以销售单价定为30元或40元；
（3）∵厂商每月的制造成本不超过520万元，每件制造成本为20元，
∴每月的生产量大于等于$\frac{520}{20}$=26万件，
由y=-2x+100≥26，得：x≥37，
又由限价40元，得37≤x≤40，
∵z=-2x²+140x-2000=-2（x-35）²+450，
∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，
∴当x=37时，z最大为442万元．
当销售单价为37元时，厂商每月获得的利润最大，
最大利润为442万元．

点评 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．