题目内容
12．已知如图1，平行四边形OABC的顶点O为平面直角坐标系原点，边OA在x轴正半轴上，点A（4，0），C（1，2）（1）写出点B的坐标，计算平行四边形OABC的面积；
（2）过点O的直线与线段BC或AB交于点P，若直线OP将平行四边形OABC的面积分成1：3两部分，求点P的坐标；
（3）如图2，OE平分∠AOC，点F为OC延长线上一点，点M为BC上一点，连接FM，ME，且MB平分∠FME，且2∠E与∠F互补，求∠FME的大小．
分析 （1）如图1，过C，B分别作CE⊥OA于E，BF⊥OA于F，由四边形OABC是平行四边形，得到OC∥AB，BC∥OA，OC=AB，证得∠OCE=∠BAF，推出△COE≌△BAF即可得到结果；
（2）如图2，当点P在线段BC上时，过点P作PM⊥OA于M，由于直线OP将平行四边形OABC的面积分成1：3两部分，得到S△OPC=$\frac{1}{2}$CP•PM=$\frac{1}{3}$S四边形OABC=$\frac{8}{3}$，结果可得，如图3，当点P在线段AB上时，过点P作PM⊥OA于M，由于直线OP将平行四边形OABC的面积分成1：3两部分，得到S△OPC=$\frac{1}{2}$OA•PM=$\frac{1}{3}$S四边形OABC=$\frac{8}{3}$，即可得到结果．
（3）如图4，过E作EN∥OA，则EN∥BC，根据平行线的性质得到∠MEN=∠BME，∠NEO=∠NEO，设∠EOA=x°，∠BME=y°x+y=∠E，2x+∠F=y，然后消掉x并表示出y，再根据2∠E与∠F互补求出y，然后根据角平分线的定义求解即可．
解答 
解：（1）如图1，过C，B分别作CE⊥OA于E，BF⊥OA于F，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，BC∥OA，OC=AB，
∴∠OCE=∠BAF，
在△COE与△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠BAF}\\{∠CEO=∠BFA=90°}\\{OC=AB}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△BAF，
∴BF=CE，AF=OE，
∵A（4，0），C（1，2）
∴B（5，2），
∴S四边形OABC=OA•CE=4×2=8；
（2）如图2，当点P在线段BC上时，
过点P作PM⊥OA于M，
∵直线OP将平行四边形OABC的面积分成1：3两部分，
∴S△OPC=$\frac{1}{2}$CP•PM=$\frac{1}{3}$S四边形OABC=$\frac{8}{3}$，
∴PC=$\frac{8}{3}$，
∴P（$\frac{11}{3}$，2），
如图3，当点P在线段AB上时，
过点P作PM⊥OA于M，
∵直线OP将平行四边形OABC的面积分成1：3两部分，
∴S△OPC=$\frac{1}{2}$OA•PM=$\frac{1}{3}$S四边形OABC=$\frac{8}{3}$，
∴PM=$\frac{4}{3}$，
∵直线AB的解析式为y=2x-8，
∴当y=$\frac{4}{3}$时，x=$\frac{28}{6}$，
∴P（$\frac{28}{6}$，$\frac{4}{3}$），
综上所述：P（$\frac{11}{3}$，2），（$\frac{28}{6}$，$\frac{4}{3}$）．
（3）如图4，过E作EN∥OA，则EN∥BC，
∴∠MEN=∠BME，∠NEO=∠NEO，
设∠EOA=x°，∠BME=y°，
∴x+y=∠E，2x+∠F=y，
消掉x得，3y=2∠E+∠F，
∵2∠E与∠F互补，
∴2∠E+∠F=180°，
∴3y=180°，
解得y=60°，
∵MB平分∠FME，
∴∠FME=2y=2×60°=120°．
点评 本题考查了根据图形求点的坐标，求三角形的面积，平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，此类题目，过拐点作平行线是解题的关键，准确识图理清图中各角度之间的关系也很重要．
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