题目内容
9．
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4cm，动点P以1cm/s的速度分别从点A、B同时出发，点P沿A→B向终点B运动，点Q沿B→A向终点A运动，过点P作PD⊥AC于点D，以PD为边向右侧作正方形PDEF，过点Q作QG⊥AB，交折线BC-CA于点G与点C不重合，以QG为边作等腰直角△QGH，且点G为直角顶点，点C、H始终在QG的同侧，设正方形PDEF与△QGH重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）当点F在边QH上时，求t的值；
（2）当正方形PDEF与△QGH重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式；
（3）当FH所在的直线平行或垂直于AB时，直接写出t的值．
分析 （1）如图1中，当点F在边QH上时，易知AP=PQ=BQ，求出AB的长即可解决问题；
（2）分两种情形①如图2中，当点F在GQ上时，易知AP=BQ=t，PD=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．PQ=PF=$\frac{1}{2}$t，列出方程即可解决问题；②如图3中，重叠部分是四边形GHRT时；
（3）分三种种情形求解①如图5中，当FH⊥AB时，延长HF交AB于T，易知AP=BQ=GQ=HG=TQ=t，PT=$\frac{1}{2}$t；②如图7中，当FH∥AB时，易知AQ=PQ=$\frac{1}{2}$t，BQ=t；分别列出方程即可解决问题．③如图8中，当HF∥AB时；
解答 解：（1）如图1中，当点F在边QH上时，易知AP=PQ=BQ，
∵Rt△ABC中，AB=4，
∴t=$\frac{4}{3}$时，点F在边QH上．
（2）如图2中，当点F在GQ上时，易知AP=BQ=t，PD=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．PQ=PF=$\frac{1}{2}$t，
∴t+$\frac{1}{2}$t+t=4，
∴t=$\frac{8}{5}$，
由（1）可知，当$\frac{4}{3}$＜t≤$\frac{8}{5}$时，正方形PDEF与△QGH重叠部分图形是四边形
此时s=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t•[$\frac{\sqrt{2}}{2}$t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-2t）]=$\frac{3}{2}$t2-2t．
如图3中，当G在EF上时，则有$\sqrt{2}$（4-t）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2t-4）．解得t=$\frac{12}{5}$，
如图4中，当G与D重合时，易知2t-4=$\frac{1}{2}$t，解得t=$\frac{8}{3}$．
当$\frac{12}{5}$≤t＜$\frac{8}{3}$时，S=S△GHQ-S△TRQ=$\frac{1}{2}$（4-t）2-$\frac{1}{2}$[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2t-4）]2=-$\frac{1}{2}$t2-4．
（3）①如图5中，当FH⊥AB时，延长HF交AB于T，易知AP=BQ=GQ=HG=TQ=t，PT=$\frac{1}{2}$t，
∴3t+$\frac{1}{2}$t=4，
∴t=$\frac{8}{7}$．
②如图7中，当HF⊥AB于T时，
∵TB=4-2（4-t）=4-$\frac{3}{2}$t，解得t=$\frac{16}{7}$，
③如图8中，当HF∥AB时，∴$\frac{1}{2}$t+t=4，
∴t=$\frac{8}{3}$，
综上所述，t=$\frac{8}{7}$s或$\frac{16}{7}$s或$\frac{8}{3}$时，FH所在的直线平行或垂直于AB．
点评 本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，学会用分类讨论是思想思考问题，属于中考压轴题．
53天天练系列答案
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