Question

10．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．下列条件：①BC²=BD•BA；②$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$；③CD²=AD•BD．其中能证明△ABC是直角三角形的是①②③．

Answer 1

分析 首先把①③中的乘积式化成比例式，根据三角形相似的判定方法证出三角形相似，得出对应角相等，再运用角的互余关系得出∠ACB=90°即可；
②证明三角形相似，同理得出∠ACB=90°．

解答 解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵BC²=BD•BA，
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{BA}{BC}$，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
∵∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°，
∴①能证明△ABC是直角三角形；
∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ACD+∠ACD=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=90°，
即△ABC是直角三角形，
∴②能证明△ABC是直角三角形；
∵CD²=AD•BD，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$，
又∵∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴∠ACD=∠B，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°，
即△ABC是直角三角形，
∴③能证明△ABC是直角三角形；
综上所述：能证明△ABC是直角三角形的是①②③；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、比例的性质、角的互余关系；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明三角形相似得出对应角相等是解题的关键．