Question

13．如图，在△ABC中，G是重心，I是∠B和∠C的平分线的交点，若IG∥BC，且BC=5，则AB+BC等于（　　）

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 首先连接AG并延长交BC于点D，连接AI并延长交BC与点F，作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，则IE为内切圆I的半径．根据三角形重心的性质及相似三角形的性质易得到AH=3IE，即AH=3r．再利用三角形的面积计算公式△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，故$\frac{1}{2}$BC•3r=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，即2BC=AB+CA即可得出答案．

解答 解：连接AG并延长交BC于点D，连接AI并延长交BC与点F，作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，
则IE为内切圆I的半径，
设IE=r．
∵IG∥BC，
∴$\frac{FI}{FA}$=$\frac{DG}{DA}$=$\frac{1}{3}$，
∵IE∥AH，
∴$\frac{IE}{AH}$=$\frac{FI}{FA}$=$\frac{1}{3}$，
∴AH=3r，
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，
故$\frac{1}{2}$BC•3r=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，
即2BC=AB+CA=10．
故选：B．

点评 本题考查了三角形的五心．本题综合性较强，考查知识点较深，是竞赛类题目的首选，解决本题的关键是掌握三角形五心的性质．