Question

如图，位置A，B位于河的两岸，河宽为m，A，B之间的水平距离为4m．某人走路速度是游泳速度的2倍，欲从位置A前往位置B，采用图中的路线，则夹角α=________时，所花费的时间最少．

Answer 1

30°
分析：结合图形，设人游泳的速度为v，根据三角函数之间的关系，可得MN的长度为MN=，即人在水里的所耗费的时间为，又人走路的总长度为d=4-mtanα，即可得出人走路所耗费的时间为，即人所用的总时间为T=，
解答：结合图形，设人游泳的速度为v，根据三角函数之间的关系，可得MN的长度为MN=，
即人在水里的所耗费的时间为，又人走路的总长度为d=4-mtanα，
即可得出人走路所耗费的时间为，
即人所用的总时间为T=，
当α=30°时，T最小，即α=30°时，人所用的总时间最少．
故填：30°．
过点M作对岸的垂线，设垂足为C，在Rt△MCN中，设NC=x（x≥0），则MN=，
设人游泳的速度为V，则步行速度为2V，
则从A到B所花费的时间为==（4m+2-x）
设y=2-x（x≥0），则有x+y=2，两边平方化简得到：3x²-2yx+4m²-y²=0
因为x≥0，所以△=16y²-48m²≥0，y≥m，
所以当y=m时y取得最小值，此时方程有两个等根，x=m．
在Rt△MCN中，NC=x=m，MC=m，所以α=30°．
点评：本题主要考查了解直角三角形的应用，以及特殊角三角函数值的大小问题，综合性较强．