Question

8．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点E，连接AC并延长，过点E作EG⊥AC的延长线于点G，并且∠GCD=∠GAB．
（1）求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$；
（2）若AB=10，sin∠ADC=$\frac{3}{5}$，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明CD∥AB即可解决问题；
（2）在Rt△ADB中，解直角三角形即可；

解答 解：（1）∵∠GCD=∠GAB，
∴CD∥AB，
∴∠ADC=∠BAD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$；

（2）∵∠ADC=∠BAD，
∴sin∠ADC=sin∠DAB=$\frac{3}{5}$，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=10，
∴BD=6，
∴AD=8，

点评 本题考查切线的性质、解直角三角形、平行线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．