题目内容

在直角坐标系中，A（0，4），B（4，0）．点C从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向点O匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C、D运动的时间是t秒（t＞0）．过点C作CE⊥BO于点E，连接CD、DE．
（1）当t为何值时，线段CD的长为4；
（2）当线段DE与以点O为圆心，半径为的⊙O有两个公共交点时，求t的取值范围；
（3）当t为何值时，以C为圆心、CB为半径的⊙C与（2）中的⊙O相切？

【答案】分析：（1）过点C作CF⊥AD于点F，则CF，DF即可利用t表示出来，在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求得t的值；
（2）易证四边形ADEC是平行四边形，过点O作OG⊥DE于点G，当线段DE与⊙O相切时，则OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，则OG也可以利用t表示出来，当OG＜时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；
（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值．
解答：解：（1）过点C作CF⊥AD于点F，
在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，
∴∠ABO=30°，
由题意得：BC=2t，AD=t，
∵CE⊥BO，
∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t，
∵CF⊥AD，AO⊥BO，
∴四边形CFOE是矩形，
∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，
在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2，
∴（4-t-t）2+（4-t）2=42，即7t2-40t+48=0，
解得：t=，t=4，
∵0＜t＜4，
∴当t=时，线段CD的长是4；

（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2），
∵AD∥CE，AD=CE=t
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE∥AB
∴∠GEO=30°，
∴OG=OE=（4-t）
当线段DE与⊙O相切时，则OG=，
∴当（4-t）＜，且t≥4-时，线段DE与⊙O有两个公共交点．
∴当 4-＜t≤时，线段DE与⊙O有两个公共交点；

（3）当⊙C与⊙O外切时，t=；
当⊙C与⊙O内切时，t=；
∴当t=或秒时，两圆相切．
点评：本题考查了勾股定理以及直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，正确理解四边形ADEC是平行四边形是关键．
练习册系列答案
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(-1，
3
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3
)
．
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