Question

20．如图，在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点M与点B关于AE对称，EM与AE交于F，连接DM．
（1）求证：∠BMD=∠ABM+∠ADM；
（2）求证：△FCM为等腰直角三角形；
（3）若AF=4，则DM=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）连接AM，根据轴对称图形的性质，可知△ABF与△AMF关于AE对称，即得AM=AB=AD，再根据等腰三角形的性质可证得结论；
（2）连接ME，由垂直平分线的性质和中点可求得△BMC为直角三角形，又结合中位线定理和△AMF∽△MFE，可求得MF=MC=2EF，可证得结论；
（3）可证明△BFC≌△CMD，可求得DM=FC，结合（2）可求得MF=MC=$\frac{1}{2}$AF，可求得答案．

解答 （1）证明：如图1，连接AM，

∵点M与点B关于AE对称，
∴△ABF与△AMF关于AE对称，
∴AB=AM，
∵AB=AD，
∴AM=AD，
∴∠ABM=∠AMB，∠ADM=∠AMD，
∴∠BMD=∠AMB+∠AMD=∠ABM+∠ADM；
（2）证明：如图2，连接ME，

∵B、M关于AE对称，
∴AE⊥BM，且BF=MF，
又∵E为BC中点，
∴FE∥MC，且MC=2EF，
∴∠BFE=∠BMC=90°，
∴△MCF为直角三角形，
∵∠AME=∠ABE=90°，
∴∠FAM+∠AMF=∠AMF+∠EMF，
∴∠FAM=∠EMF，
∴△AMF∽△MEF，
∴$\frac{MF}{EF}$=$\frac{AM}{ME}$=$\frac{AB}{BE}$=2，
∴MF=2EF，
∴MC=MF，
∴△FCM为等腰直角三角形；
（3）解：由（2）可知MF=MC=$\frac{1}{2}$AF=2，
∵F为BM中点，
∴BF=MF=2，
又∵△FCM为等腰直角三角形，
∴FC=2$\sqrt{2}$，∠MFC=∠MCF=45°，
∵∠FBC+∠FCB=∠MFC=45°，∠MCD+∠FCB=45°，
∴∠FBC=∠MCD，
在△BFC和△CMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=MC}\\{∠FBC=∠MCD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BFC≌△CMD（SAS），
∴DM=FC=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质，在（2）中求得MF和EF的关系是解题的关键，在（3）中证明△BFC≌△CMD是解题的关键．