Question

6．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）试判断DE和⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠BAC=30°，DE=3，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接DO，DB，由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°，可以得出∠CDB=90°，根据E为BC的中点可以得出DE=BE，就有∠EDB=∠EBD，OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD，由的等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论；
（2）由（1）得BC=2DE=6，由BC=2DE求得BC的长，根据AD=$\frac{BD}{tanA}$可得答案．

解答 解：（1）连接DO，DB，

∴OD=OB
∴∠ODB=∠OBD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°．
∵E为BC的中点，
∴DE为Rt△BCD斜边的中线，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
即∠EDO=∠EBO．
∵∠ABC=90°，
∴∠EDO=90°．
∴DE为⊙O的切线；

（2）由（1）知BC=2DE=6，
又∵∠BAC=30°，
∴∠C=60°，
∴BD=BCsinC=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{BD}{tanA}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=9．

点评 本题主要考查了切线的判定、圆周角定理及其推论、三角函数的应用等几何知识点及其应用问题；熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．