Question

已知二次函数y=ax²+bx+c，当x=1时，函数有最大值4，且|a|=1．
（1）求它的解析式；
（2）若上述函数的图象与x轴交点为A、B，其顶点为C．求直线AC的方程；
（3）求三角形ABC的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）由最大值可知a=1，又可知其顶点坐标为（1，4），可写出其顶点式方程，可得到其解析式；
（2）可先求得A、B、C的坐标，再利用待定系数法求直线AC的方程；
（3）根据（2）可求得AB，且顶点到x轴的距离为4，利用三角形的面积公式可求得△ABC的面积．

解答：解：（1）∵有最大值，且|a|=1，
∴a=-1，
又∵当x=1时，函数有最大值，
∴顶点坐标为（1，4），
∴y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；
（2）令y=0可得-（x-1）²+4=0，解得x=3或x=-1，
∴A、B两点的坐标为（-1，0）、（3，0），
且顶点坐标为C（1，4），
设直线AC为y=kx+b，
当A为（-1，0）时，代入可得

-k+b=0 k+b=4

，解得

k=2 b=2

，此时直线AC解析式为y=2x+2；
当A为（3，0）时，代入可得

3k+b=0 k+b=4

，解得

k=-2 b=6

，此时直线AC解析式为y=-2x+6；
综上可知直线AC的解析式为y=2x+2或y=-2x+6；
（3）由（2）可知AB=|3-（-1）|=4，且C到x轴的距离为4，
则S_△ABC=

1

2

×4×4=8．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的顶点坐标，利用待定系数法求函数解析式的关键是求得点的坐标，注意方程思想的应用．