Question

12．△ABC中，∠A=38°，BD是AC边上的高，且BD²=AD•CD，则∠BCA的度数为52°或128°．

Answer 1

分析 根据相似三角形的判定，由已知可判定△ADB∽△BDC，进而求出∠A=∠CBD，即可求∠BCA的度数．

解答 解：有两种可能：△ABC为锐角三角形或钝角三角形时，
①当△ABC为锐角三角形时，
∵BD²=AD•CD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}$，
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴△ADB∽△BDC，
∴∠A=∠CBD，
∵∠A=38°，
∴∠CBD=38°，
∴∠BCA=∠BDC-∠CBD=90°-38°=52°．
②当△ABC为钝角三角形时，
∵BD²=AD•CD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}$，
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴△ADB∽△BDC，
∴∠CBD=38°，
∴∠BCA=∠BDC+∠CBD=90°+38°=128°；
故答案为：52°或128°．

点评 本题考查相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键，注意分类讨论．