Question

1．如图1，△ABD、△CBD关于直线BD对称，点E是BC上一点，线段CE的垂直平分线交BD于点F，连接AF、EF
（1）求证：①AF=EF；②∠ABE+∠AFE=180°；
（2）如图2，连接AE交BD于点G，若EF∥CD，求证：$\frac{AG}{EG}$=$\frac{AD}{AF}$；
（3）如图3，若∠BAD=90°，且点E在BF的垂直平分线上，tan∠ABD=$\frac{3}{4}$，DF=$\frac{3}{2}$，直接写出AF的长为$\frac{30}{7}$

Answer 1

分析 （1）①如图1，连接CF，根据轴对称的性质和线段垂直平分线的性质证得结论；
②结合轴对称图形的性质和四边形内角和定理证得结论；
（2）结合已知条件易证△ABD∽△EBF，则该相似三角形的对应边成比例：$\frac{AD}{EF}$=$\frac{AB}{BE}$，即$\frac{AD}{AF}$=$\frac{AB}{BE}$．然后由角平分线定理推知$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AG}{GE}$，所以根据等量代换证得$\frac{AD}{AF}$=$\frac{AG}{GE}$；
（3）如图3，过点E作EH⊥BD于H．结合锐角三角函数定义可以设EH=3a，BH=4a，则BE=EF=5a，BF=8a．过点F作FG⊥EC于G，在直角△GBF中，利用锐角三角函数定义求得线段FG、EG、BD的长度，则易得DF的长度，所以AF=EF=5a．

解答 （1）证明：①如图1，连接CF，
∵△ABD、△CBD关于直线BD对称，线段CE的垂直平分线交BD于点F，
∴CF=EF=AF，
故AF=EF；

②由①知，CF=EF，
∴∠FEC=∠FCE．
又由轴对称的性质得到：∠FCE=∠FAB，
∴∠FEC=∠FCE=∠FAB，
∴∠FAB+∠BEF=∠FEC+∠BEF=180°，
∴∠ABE+∠AFE=180°；

（2）由（1）可知：AF=EF，
∵△ABD、△CBD关于直线BD对称，
∴△ABD≌△CBD，
又∵EF∥CD，
∴△CBD∽△EBF，
∴△ABD∽△EBF，
∴$\frac{AD}{EF}$=$\frac{AB}{BE}$，即$\frac{AD}{AF}$=$\frac{AB}{BE}$．
又BD为∠ABC的平分线，
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AG}{GE}$（角平分线定理），
∴$\frac{AD}{AF}$=$\frac{AG}{GE}$；

（3）如图3，过点E作EH⊥BD于H．
∵tan∠EBH=tan∠ABD=$\frac{3}{4}$，
设EH=3a，BH=4a，则HE=3a，BE=EF=5a，BF=8a．
过点F作FG⊥EC于G，
∴tan∠GBF=$\frac{3}{4}$，
∴FG=$\frac{24}{5}$a，EG=CG=$\frac{7}{5}$a，BD=$\frac{39}{4}$a，
∴DF=$\frac{39}{4}$a-8a=$\frac{7}{4}$a=$\frac{3}{2}$，a=$\frac{6}{7}$，
∴AF=5a=$\frac{30}{7}$．
故答案是：$\frac{30}{7}$．

点评 本题考查了相似综合题．解题过程中，综合运用了轴对称图形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作出辅助线构造等腰三角形、直角三角形是解题的难点与关键点，题目稍有难度．