Question

如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．G、F分别是DC与BE的中点．
（1）求证：DC=BE；
（2）当∠DAB=80°，求∠AFG的度数；
（3）若∠DAB=α，则∠AFG与α的数量关系是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等式的性质就可以得出∠DAC=∠BAE．就可以得出△ADC≌△ABE就可以得出DC=BE；
（2）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以求出∠AFG的值，
（3）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以表示∠AFG与a的关系．

解答：解：（1）∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC=BE；
（2）连接AG．
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADC=∠ABE．AD=AB．
∵G、F分别是DC与BE的中点，
∴DG=

1

2

DC，BF=

1

2

BE，
∴DG=BF．
在△ADG和△ABF中

AD=AB ∠ADC=∠ABE DG=BF

，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠AGF=∠AFG，∠DAG-∠BAG=∠BAF-∠BAG，
∴∠DAB=∠GAF．
∵∠DAB=80°，
∴∠GAF=80°．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴∠AFG=50°．
答：∠AFG=50°；
（3）∵∠DAB=a，
∴∠GAF=a．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴a+2∠AFG=180°，
∴∠AFG=90°-

1

2

a．．
故答案为：90°-

1

2

a．

点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．