Question

已知：如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：几何综合题

分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵在?ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中

∠EDO=∠OBF DO=BO ∠EOD=∠FOB

，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）解：当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，
理由：∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠EOD=90°，
∴EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和菱形的判定等知识，得出BE=DE是解题关键．