题目内容
1．
在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y=$\frac{1}{3}$x2-2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，-4），连结PA、PB，有以下说法：①PO2=PA•PB；
②当k＞0时，（PA+AO）（PB-BO）的值随k的增大而增大；
③当k=-$\frac{1}{3}$时，BP2=BO•BA；
④△PAB面积的最小值为4$\sqrt{6}$．
其中正确的是（ ）
| A． | ① | B． | ② | C． | ③ | D． | ④ |
分析 如答图1，设点A关于y轴的对称点为A′，若结论①成立，则可以证明△POA′∽△PBO，得到∠AOP=∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此产生矛盾，故说法①错误；
如答图2，可求得（PA+AO）（PB-BO）=16为定值，故说法②错误；
联立方程组，求得点A、B坐标，进而求得BP、BO、BA，验证等式BP2=BO•BA成立，故说法③错误；
由根与系数关系得到：S△PAB=2$\sqrt{9{k}^{2}+24}$，当k=0时，取得最小值为4$\sqrt{6}$，故说法④正确．
解答 解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立y=$\frac{1}{3}$x2-2与y=kx得：$\frac{1}{3}$x2-2=kx，即x2-3kx-6=0，
∴m+n=3k，mn=-6．
设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，-4），A（m，km）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{ma+b=km}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{km+4}{m}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{km+4}{m}$x-4．
令y=0，得x=$\frac{4m}{km+4}$，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（$\frac{4m}{km+4}$，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y=（$\frac{kn+4}{n}$）x-4，直线PB与x轴交点坐标为（$\frac{4n}{kn+4}$，0）．
∵$\frac{4m}{km+4}$+$\frac{4n}{kn+4}$=$\frac{8kmn+16（n+n）}{（km+4）（kn+4）}$=$\frac{8k×（-6）+16×3k}{（km+4）（kn+4）}$=0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′．
假设结论：PO2=PA•PB成立，即PO2=PA′•PB，
∴$\frac{PO}{PA′}$=$\frac{PB}{PO}$，
又∵∠BPO=∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′=∠PBO，
∴∠AOP=∠PBO．
∵∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
说法②错误．理由如下：
易知：$\frac{OB}{OA}$=-$\frac{n}{m}$，
∴OB=-$\frac{n}{m}$OA．
由对称可知，PO为△APB的角平分线，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{OB}{OA}$，
∴PB=-$\frac{n}{m}$PA．
∴（PA+AO）（PB-BO）=（PA+AO）[-$\frac{n}{m}$PA-（-$\frac{n}{m}$OA）]=-$\frac{n}{m}$（PA+AO）（PA-OA）=-$\frac{n}{m}$（PA2-AO2）．
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=-km，PD=4+km．
∴PA2-AO2=（PD2+AD2）-（OD2+AD2）=PD2-OD2=（4+km）2-（-km）2=8km+16，
∵m+n=3k，∴k=$\frac{1}{3}$（m+n），
∴PA2-AO2=8•$\frac{1}{3}$（m+n）•m+16=$\frac{8}{3}$m2+$\frac{8}{3}$mn+16=$\frac{8}{3}$m2+$\frac{8}{3}$×（-6）+16=$\frac{8}{3}$m2．
∴（PA+AO）（PB-BO）=-$\frac{n}{m}$（PA2-AO2）=-$\frac{n}{m}$•$\frac{8}{3}$m2=-$\frac{8}{3}$mn=-$\frac{8}{3}$×（-6）=16．
即：（PA+AO）（PB-BO）为定值，所以说法②错误．
说法③错误．理由如下：
当k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-2}\end{array}\right.$，得A（-2$\sqrt{3}$，2），B（$\sqrt{3}$，-1），
∴BP2=12，BO•BA=2×6=12，
∴BP2=BO•BA，故说法③错误．
说法④正确．理由如下：
S△PAB=S△PAO+S△PBO=$\frac{1}{2}$OP•（-m）+$\frac{1}{2}$OP•n=$\frac{1}{2}$OP•（n-m）=2（n-m）=2$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=2$\sqrt{9{k}^{2}+24}$，
∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为2$\sqrt{24}$=4$\sqrt{6}$．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：④．
故选：D．
点评 本题是代数几何综合题，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中PA、PB的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．
如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=2．| A． | 1 | B． | -1 | C． | -2 | D． | 2 |