Question

18．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
（2）当四边形ABCD的对角线添加条件AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．
（3）在（2）的条件下，说明四边形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理得到EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，HG∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据正方形的判定定理填空；
（3）根据正方形的判定定理进行证明．

解答 解：（1）四边形EFGH是平行四边形，
连接AC、BD，
∵E，F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理HG∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形，
故答案为：AC=BD且AC⊥BD；
（3）∵四边形EFGH是平行四边形，AC=BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是正方形．

点评 本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．